Эконометрика и логарифмическая модель

Автор: Роберто Педасе

Использование натурального журнала для переменных по обе стороны вашей эконометрической спецификации называется логарифмическая модель. Эта модель удобна, когда зависимость нелинейна по параметрам, потому что преобразование журнала генерирует желаемую линейность в параметрах (вы можете вспомнить, что линейность по параметрам является одним из допущений OLS).

В принципе, любое преобразование журнала (естественное или нет) может быть использовано для преобразования нелинейной по параметрам модели в линейную. Все преобразования журнала дают аналогичные результаты, но в прикладной эконометрической работе принято использовать натуральный журнал. Практическое преимущество натурального логарифма заключается в простоте интерпретации коэффициентов регрессии.



Рассмотрим функцию спроса

image0.jpg

где Q - требуемое количество, альфа - параметр сдвига, п - цена товара, а параметр бета меньше нуля для нисходящей кривой спроса.

image1.jpg

вы можете распознать функцию как определенный тип кривой спроса с эластичностью, равной –1 во всех точках; то есть у вас есть унитарная кривая эластичного спроса.

Кривая спроса формы

image2.jpg

имеет постоянную эластичность, но значение этой эластичности может быть неизвестно. Используя данные, вы можете оценить параметры, но вы должны преобразовать функцию, чтобы делать оценки с помощью метода OLS.

Если ваша модель нелинейна по параметрам, иногда преобразование журнала достигает линейности.

Общая форма модели постоянной эластичности может быть представлена ​​следующим образом:

image3.jpg

Если взять натуральный бревно с обеих сторон, получится

image4.jpg

Вы лечите

image5.jpg

как перехват. В итоге вы получите следующую модель:

image6.jpg

Вы можете оценить эту модель с помощью OLS, просто используя значения натурального логарифма для переменных вместо их исходного масштаба.

После оценки логарифмической модели, такой как та, что в этом примере, коэффициенты можно использовать для определения влияния ваших независимых переменных ( Икс ) от вашей зависимой переменной ( Y ). Коэффициенты в логарифмической модели представляют собой эластичность вашей Y переменная по отношению к вашему Икс Переменная. Другими словами, коэффициент - это оценочный процентное изменение в вашей зависимой переменной для процентное изменение в вашей независимой переменной.

Используя исчисление с простой логарифмической моделью, вы можете показать, как следует интерпретировать коэффициенты. Начнем с модели

image7.jpg

и дифференцируем его, чтобы получить

image8.jpg

Член в правой части - это процентное изменение Икс , а член в левой части - это процентное изменение Y , так

image9.jpg

измеряет эластичность.

Предположим, вы получили оценки

image10.jpg

где Y это продажи и Икс это цена. Эластичность составляет –0,85, поэтому повышение цены на 1 процент в среднем связано со снижением объема спроса (продаж) на 0,85 процента.

Таблетка субоксона 8 миллиграмм

Если вы оцениваете логарифмическую регрессию, несколько результатов для коэффициента на Икс производят наиболее вероятные отношения:

image11.jpg

Часть (а) показывает эту функцию журнала-журнала, в которой влияние независимой переменной является положительным и становится больше по мере увеличения ее значения.

image12.jpg

Часть (b) показывает логарифмическую функцию, в которой влияние независимой переменной является положительным, но становится меньше по мере увеличения ее значения.

image13.jpg

В части (c) показана функция журнала-журнала, где влияние зависимой переменной отрицательное.

image14.jpg

Хотя коэффициенты регрессии иногда называют коэффициенты частичного наклона, в логарифмической модели коэффициенты не отражают наклон (или изменение единицы измерения в вашем Y переменная для изменения единицы в вашем Икс Переменная).