Сравнение сходящихся и расходящихся последовательностей

Марк Зегарелли

Каждая бесконечная последовательность либо сходится, либо расходится. А сходящийся последовательность имеет предел - то есть приближается к действительному числу. А расходящийся последовательность не имеет предела.

Вот пример сходящейся последовательности:



image0.png

Эта последовательность приближается к 0, поэтому:

image1.png

Таким образом, эта последовательность сходится к 0.

Вот еще одна сходящаяся последовательность:

image2.png

На этот раз последовательность приближается к 8 сверху и снизу, поэтому:

image3.png

Однако во многих случаях последовательность расходится - то есть не может приблизиться ни к какому действительному числу. Дивергенция может происходить двумя способами. Наиболее очевидный тип расхождения возникает, когда последовательность взрывается до бесконечности или отрицательной бесконечности, то есть она все дальше и дальше удаляется от 0 с каждым членом. Вот несколько примеров:

–1, –2, –3, –4, –5, –6, –7 ,. . .

ln 1, ln 2, ln 3, ln 4, ln 5,. . .

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ,. . .

В каждом из этих случаев последовательность приближается либо к

image4.png

так что предел последовательности не существует . Следовательно, последовательность расходится.

Второй тип расхождения возникает, когда последовательность колеблется между двумя или более значениями. Например:

0, 7, 0, 7, 0, 7, 0, 7 ,. . .

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1 ,. . .

В этих случаях последовательность колеблется бесконечно, никогда не останавливаясь на значении. Опять же, предела последовательности не существует , так что последовательность расходится.